Математика Этерна
Открытый доступ

Абстрактный

Процессы Леви, мартингалы, обратные мартингалы и ортогональные полиномы

Павел Я. Шабловски

Мы изучаем класс процессов Леви, имеющих распределения, идентифицируемые моментами. Мы определяем систему полиномиальных мартингалов fMn(Xt ; t); F tgn 1 ; где F t — подходящая фильтрация, определенная ниже. Мы представляем несколько свойств этих мартингалов. Среди прочего мы показываем, что M1(Xt ; t)=t является как обратным мартингалом, так и упряжью. Основные результаты статьи касаются вопроса, является ли мартингал, скажем, Mi, умноженный на подходящую детерминированную функцию i (t), обратным мартингалом. Мы показываем, что для n 3 Mn(Xt ; t) является обратным мартингалом (или ортогональным полиномом) только тогда, когда рассматриваемый процесс Леви является гауссовым (т. е. является винеровским процессом). Мы также изучаем более общий вопрос, есть ли шансы для линейной комбинации (с коэффициентами, зависящими от t) мартингалов Mi ; i = 1; : : : ; n быть обратными мартингалами. Мы анализируем случай n = 2 подробно, перечисляя все возможные случаи.