Математика Этерна
Открытый доступ

Абстрактный

О связи между значениями дзета-функции Римана в рациональных и обобщенных гармонических числах

Павел Я. Шабловски

Используя преобразование Эйлера рядов, мы связываем значения дзета-функции Гурвица (s; t) при целых и рациональных значениях аргументов с некоторыми быстро сходящимися рядами, где появляются некоторые обобщенные гармонические числа. Большинство результатов статьи можно вывести из недавних, более продвинутых результатов о свойствах дзета-функций Аракавы-Канеко. Мы выводим наши результаты напрямую, решая простые рекурсии. Форма упомянутых выше обобщенных гармонических чисел несет информацию о значениях аргументов функции Гурвица. В частности, мы доказываем: 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; где H (k) n — определенные ниже обобщенные гармонические числа, или что K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; где K обозначает постоянную Калатана, а Hn обозначает n-е (обычное) гармоническое число. Далее мы показываем, что производящая функция чисел ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk , k 2 N и ^ (0) = 1=2 равна B(1=2; 1 y; 1 + y), где B(x; a; b) обозначает неполную бета